Отправлено homekvn 28 ноября 2005 г. 14:03 В ответ на: Сейчас подробно не могу - пару часов буду занят. Но, если коротко, то для дискретного преобр. Фурье функция подразумевается периодической (или, если хотите, ограниченной длины), а для непрерывного преобразования - она определена на бесконечном интервале времени. отправлено <font color=gray>homekvn</font> 28 ноября 2005 г. 12:03

путем дискретизации функции описанным ниже способом.

Пусть имеется ограниченная по длине последовательность
x[n] = x[0], x[1], ... x[N-1]. (1)

Поставим ей в соответствие непрерывную периодическую функцию F(t), значение которой на всем периоде T*N, имеет вид

F(t) = x[0]*d(t) + x[1]*d(t-T) + ... + x[N-1]*d(t-T*(N-1)) (2)

где Т>0 - выбранный период дискретности, d(t) - дельта-функция Дирака.
А далее представим F(t) в виде разложения в комплексный ряд Фурье. (Здесь заметим, что функция F(t) удовлетворяет всем требованиям для разложения в ряд Фурье: имеет ограниченную энергию на периоде и собственно она периодична).

F(t) = Co/2 + сумма (Сk*exp(j*wk*t), k=0..N-1); (3)

Здесь Ck = интеграл (f(t)*exp(j*wk*t)dt, t=-T*N/2..+T*N/2); (4)
wk = k*w1; w1 = 2*pi/(T*N), (5)

Подставляя (2) в (4), и используя фильтрующее свойство дельта-функции, получим

Ck = сумма(x[k]*exp(j*wk*T), k = 0..N-1) (6)

Используя (5), перепишем (6) в виде

Ck = сумма(x[k]*exp(j*2*pi*k*T/(T*N)), k = 0..N-1) =
сумма(x[k]*exp(j*2*pi*k/N), k = 0..N-1) (7)

Вот и дискретное преобразование Фурье.

С некоторыми поправками на математическую аккуратность записей.

E-mail: info@telesys.ru