|
|
Вот все выкладки.
Сигнал. S(t)=A*exp(j*fi(t))=A*cos(fi(t)+j*A*sin(fi(t))=I(t)+j*Q(t).
I(t)=A*cos(fi(t), Q(t)=A*sin(fi(t)).
Его фаза. fi(t)=arctg(Q(t)/I(t))
Мгнов. циклич. частота. W(t)=fi'(t)=arctg'(Q(t)/I(t))=
=[Q'(t)I(t)-I'(t)Q(t)]/[I^2(t)+Q^2t)]. Это формула 1.
Дальше несколько вариантов.
1. Вместо производных подставляю в формулу 1 их оценки в виде первых разностей. Т.е. вместо Q'(t) подставляю (Q(n)-Q(n-1))/T, вместо I'(t) соответственно (I(n)-I(n-1))/T. Вместо Q(t) подставляю Q(n),
вместо I(t) - I(n). T - период дискр.
Получаю какую-то оценку W. Оценку обозначу W1.
И W1(n)=[Q(n)I(n-1)-I(n)*Q(n-1)]/T*[I^2(n)+Q^2(n)]. Формула 2.
Но I(n)=A*cos(fi(n)), Q(n)=A*sin(fi(n)).
С учетом этого получаю:
W1(n)=(1/T)*[sin(fi(n))*cos(fi(n-1))-cos(fi(n))*sin(fi(n-1))]=
=(1/T)*sin[fi(n)-fi(n-1)]. Это формула 3.
Сразу по поводу четверки. Возьму сигнал S(n)=exp(j*W*n), т.е. fi(n)=W*n. W=2pi*F*T. Тогда W1=(1/T)*sin(W).
Для частот W00=(pi/2)-dW и W01=(pi/2)+dW оценка W1 будет одинаковой и равной (1/T)*cos(dW). pi/2 - четверть частоты дискретизации.
Частоты, симметричные относительно четверти частоты дискретизации, неразличимы. Неразличимость и является причиной четверки, т.е. повышения частоты дискретизации в 2 раза. Неразличимость, а не нелинейные искажения.
Можно сравнить ф. 3 с прямым рассчетом - вычислить арктангенс, т.е fi(n), и затем воспользоваться первой разностью в качестве оценки производной. И в результате получить оценку цикл. мгновенной частоты, W2. W2[n]=[fi(n)-fi(n-1)]/T. И сравнив W1 и W2:
W2=(1/T)*arcsin(W1*T). Т.е. один и тот же результат м.б. получен обоими способами.
Но арксинус, в отличии от арктангенса, не всегда и нужен. Может устроить коэфф. нелинейных искажений. Может, из каких-то высших соображений, оказаться достаточно высокой частота дискретизации, что даст W1~=[fi(n)-fi(n-1)]/T.
2. И арксинус и удвоение частоты дискретизации - от первой разности. Ее АЧХ, A(W)=2*sin(WT/2)=2*sin(2pi*F*T/2). И она хорошо аппроксимирует характеристику идеального дифференциатора (A(W)=W) только на низких, по сравнению с Fdiskr, частотах. С повышением частоты отклонение АЧХ первой разности от прямой линии увеличивается.
Есть фильтры-дифференциаторы. Проектируются они по критерию минимума какого-нибудь отклонения, максимального или среднекв.,
своей ЧХ от ЧХ идеального дифференц. в как можно более широком диапазоне частот. Обычно получается, что отклонение очень мало, много меньше отклонения ЧХ первой разности, в диапазоне, от 0 до (Fdiskr/2)-dF. Но в окрестности +-dF у Fdiskr/2 отклонение может быть много большим отклонения первой разности. Диапазон dF может быть сделан очень малой, как и сами отклонения. Это все от порядка фильтра-дииференциатора зависит. Используя такие дифференциаторы высокого порядка можно и уйти от повышения частоты диср. в 2 раза и уменьшить нелинейные искажения.
Схема простая. Каждая из квадратур пропускается через фильтр-дифференциатор, получается оценка производной. Параллельно каждая квадратура пропускается через ЛЗ, чтобы скомпенсировать групп. задержку дифференциатора. Дальше все это в формулу 1. Т.е., напимер вместо Q'(t) - выход соответствующнго дифференциатора, вместо Q(t) - вызод соответствующей ЛЗ. Ну и масштабный множитель появится. И получается совсем неплохо. Фильтрацию КИХ-дифференциаторами можно, к тому же, через FFT сделать. Много чего наэкономив.
Вот все, что я хотел сказать, я раньше уже это говорил - оба метода, хоть с арктангенсом, хоть с расписанной производной арктангенса позволяют получить пракически одно и то же. Если все правильно сделать.
|
|
E-mail: 
info@telesys.ru
