|
|
Прошу прощения, что заставил ждать - выходные рано наступили :-)
Первое замечание у меня будет к Вашему утверждению, что введенная по Левину СПМ зависит от времени. Ну вот она, цитирую Вас:
lim(T->Inf)(integral(integral(R(t1,t2)*exp(-j*w*(t1-t2))dt1dt2))). Интегралы от -T/2 до T/2.
Посмотрите, оба интеграла - по времени. Предел - по параметру Т. Свободной переменной времени больше не остается. Так что СПМ, введенная таким образом есть функция только одной переменной - частоты w. Соответственно, я не понимаю, как можно что-то "нахимичив" сделать из приведенной выше формулы вот такую, как Вы пишите в последнем посте:
СПМ(t) = integral(R(t, delta_t)*exp(-jwdelta_t));
Ну и наконец Ваше последнее утверждение относительно возможности получения винеровского фильтра для нестационарных процессов при каких-то там условиях (очевидно, Вы допускаете, что некий параметр или некие параметры процесса, которые и дают нестационарность, изменяются медленно). Сразу скажу, что математически эта операция не является корректной. В этом случае столкнуться со следующим:
1. Придется давать специальное определение АКФ на временном интервале;
2. Получить само уравнение Винера-Хопфа, дающего решение по минимизации функционала дисперсии ошибки De(W), формулу которого я приводил где-то раньше, или его решение вряд ли удастся аналитически. И вот почему. Дело в том, что в самом функционале и в уравнениях есть одна прелестная вещь - это пределы в интеграле. Они от минус до плюс бесконечности. Благодаря чему уравнение решается очень элегантно. В частности, такие интегралы берутся аналитически, если использовать результаты теории функций комплексного переменного (ТФКП) (прежде всего вычеты). Примерами подобных неберущихся в классической алгебре интегралов являются интегралы от дробно-рациональных функций на от минус до плюс бесконечности. Но они хорошо берутся при помощи ТФКП.
3. Даже если допустить, что такая задача правомерна с точки зрения классической теории вероятностей, и что она имеет решение, то практическая ценность такого решения в свете самой теории вероятностей сомнительна. Почему? - Да потому что результат этот уже не есть оптимальное решение. Оно приближенно оптимальное. И чем сильнее и выразительнее нестационарность, чем быстрее будут изменяться свойства случайного процесса, тем дальше от оптимума будет решение. Мне известны такие попытки, когда берут винеровский фильтр для нестационарных, но очень слабо изменяющихся процессов. Они работают приближенно оптимально. Но такой метод имеет свои четкие границы. Главный его недостаток это даже не приближенность, а неуневерсальность. Вот универсальным будет фильтр Калмана. Вы скажете, что видели связь между ними. Так и я видел. Связь эта очень проста и одностороння: в случае стационарных процессов можно показать, что калмановский фильтр вырождается в винеровский.
Мы в самом начале стали говорить о задаче оптимальной винеровской фильтрации. Не о каких-то там приближениях, работающих для частных случаев, пример которого Вы привели, а именно об универсальном решении. В рамках данного решения есть четкие границы. Эти границы такие: случайные процессы стационарны. Для нестационарных процессов винеровского фильтра не существует.
|
|
