|
|
Но говорить о задержке сигнала не совсем правильно.
Говорят о групповой задержке, групповом времени - по разному называют.
Т.е. о производной по частоте от фазовой характеристики.
Если ФЧХ линейна, то групповая - константа.
И 0.5*(N-1) - групповая задержка для одного класса КИХ фильтров, а именно с симметричной или антисимметричной импульсной характеристикой, или, по другому, с линейной ФЧХ. КИХ фильтры вообще-то не ограничиваются этим классом.
На паре примеров попробую объяснить, почему групповая задержка для КИХ фильтров с линейной ФЧХ именно такая.
1. Есть КИХ фильтр (физически нереализуемый, т.е. некаузальный) с импульсной характеристикой не равной 0 в моменты времени -2,-1,0,1,2 и равной 0 в любые другие моменты времени. Т.е. длиной 5.
Значения ИХ в эти моменты: h(-2),h(-1),h(0),h(1),h(2).
Причем h(-2)=h(2),h(-1)=h(1).
H(Z)=summa(h(i)*Z^(-i)), i=-2...2.
Т.е. H(Z)=h(-2)*Z^2+h(-1)*Z+h(0)+h(1)*Z^(-1)+h(2)*Z^(-2).
ЧХ это H(Z) при Z=exp(j*w*Tdiskr). w*Tdiskr=w/fdiskr=W - "цифровая" циклическая частота.
Ну и H(exp(j*W))=h(-2)*exp(j*2W)+h(-1)*exp(j*W)+h(0)+h(1)*exp(-j*W)+h(2)*exp(-j*2W). А дальше тригонометрия с учетом h(-2)=h(2), h(-1)=h(1) и exp(j*x)+exp(-jx)=2*cos(x).
В итоге H(exp(j*W))=с(0)*cos(0)+c(1)*cos(W)+c(2)*cos(2*W).
c(0)=h(0),c(1)=2*h(1),c(2)=2*h(2).
Т.е. H(exp(j*W)) - чисто действительная. Т.е. ФЧХ=0 на всех частотах, групповая задержка - константа и равна 0.
Но этот фильтр, как уже писал, физически нереализуем, т.к. ИХ не равна 0 и при отрицательном времени.
2. Сдвинем вышеприведенную ИХ вправо на 2 отсчета, сохранив форму. Т.е. ИХ будет не равна 0 в моменты времени 0,1,2,3,4 и равна 0 в любые другие. h(0)=h(4),h(1)=h(3).
В результате:
H(exp(j*W))=h(0)+h(1)*exp(-j*W)+h(2)*exp(-j*2W)+h(3)*exp(-j*3W)+h(4)*exp(-j*4W). Вынося exp(-j*2W) за скобки получим:
H(exp(j*W))=exp(-j*2W)*[h(0)*exp(j*2W)+h(1)*exp(j*W)+h(2)+h(3)*exp(-j*W)+h(4)*exp(-j*2W)]. Выражение в квадратных скобках - H(exp(j*W)) для не сдвинутой ИХ, т.е. для ИХ из первого примера, разница только в индексах h.
Т.е. H(exp(j*W))=exp(-j*2W)*[b[2]*cos(0)+b(3)cos(W)+b(4)*cos(2W)]
b(2)=h(2),b(3)=2*h(3),b(4)=2*h(4).
Выражение в кв. скобках - чисто действительное, по сути АЧХ. И АЧХ
совпадает с ЧХ физ. нереализ. фильтра с аналогичной ИХ.
А ФЧХ определяется множителем exp(-j*2W). Т.е. фазовая х-ка=2*W.
И групповая задержка (в отсчетах)=2=(5-1)/2. Ее, групповую задержку, можно рассматривать и как задержку сигнала на выходе физич. реализуемого фильтра по отношению к сигналу на выходе физически нереализуемого фильтра с аналогичной ИХ. Т.е сигнал на выходе обоих фильтров одинаков, но на выходе реализуемого задержан, относительно выхода нереализуемого.
Можно рассматривать и просто как задержку сигнала для одного частного случая, когда ИХ фильтра - дельта импульс. Но и фильтр в этом случае трудно назвать фильтром, это просто элемент задержки.
Эти примеры для симметр. фильтра нечетной длины. Можете сами посмотреть для четной длины, например 4. Аналогично. Только для физ. нереализ. ИХ не равна 0 в моменты -1.5,-0.5,0.5,1.5. А для физич. реализуемого - сдвиг на 1.5. И для антисимметричного нечетной, например 5, и четной (4) длины. Для антисимметр. нереализ. длиной 5
h(-2)=-h(2),h(-1)=-h(1).
В общем, все, что я понаписал, можно было бы заменить 3 свойствами преобразования Фурье:
1.Преобразование Фурье от любой симметричной (относительно момента времени=0) всегда чисто действительное, т.е. сумма (интеграл) от произведения симметр. ф-ии на синус всегда=0.
2.Для антисимметр. ф-ии преобразование чисто мнимое, т.е. интеграл от произв. косинуса на антисимм. ф-ию даст 0.
3. Сдвиг во времени аналогичен умножению каждой спектр. компоненты на фазовый множитель exp(-j*w*T). w - цикл. частота компоненты, T - временной сдвиг.
И этим объяснить требования симметричности-антисимметричности ИХ для получения линейной ФЧХ.
БИХ фильтры не могут иметь линейной ФЧХ, поскольку требование линейности автоматом превращает БИХ фильтр в нереализуемый.
Хотя приближения есть. Фильтр Бесселя, например. Требование при расчете - максимально плоская характеристика групповой задержки в полосе пропускания.
Расписался что-то много. Завязываю.
E-mail: 
info@telesys.ru
