Отправлено ВН 09 сентября 2003 г. 13:52 В ответ на: если есть время, опишите в чем идея метода авторегресии отправлено yes 09 сентября 2003 г. 09:38

АР - авторегрессия, АРСС - авторегрессия и скользящее среднее.
АРСС более общий случай. АР - частный случай АРСС. Второй частный случай АРСС - СС, скользящее среднее.
АРСС - считается, что наблюдаемый сигнал порождается неким входным сигналом, прошедшим через фильтр, имеющий и нули и полюса. В качестве некоего входного сигнала обычно принимают белый шум. АР - то же самое, но фильтр только с полюсами. СС - только с нулями.
Т.е. для АРСС наблюдаемый сигнал описывается разностным уравнением:
y(n)=sum(a[i]*x[n-i])-sum(b[k]*y[n-k]).
1 сумма по i, от 0 до, допустим, L. 2 - по k, но от 1 и до, например, M. x - вход, белый шум.
Чему соответствует передаточная ф-я: Y[Z]=A[Z]*X[Z]/B[Z].
A[Z] и B[z] - полиномы, первый порядка L, второй M.
A[Z]=sum(a[i]*Z^(-i)), сумма от 0 до L. B[Z]=1+sum(b[k]*Z^(-k)), от 1 до M. Или B[Z]=sum(b[k]*Z^(-k)), k от 0 до M и b0=1.
Соответственно для АР:
y[n]=a0*x[n]-sum(b[k]*y[n-k]). Y[Z]=a0*X[Z]/B[Z].
Для СС:
y[n]=sum(a[i]*x[n-i]), Y[Z]=A[Z]*X[Z].
Задача в вычислении a[i],b[k].
Решается с ичпользованием АКФ наблюд. сигнала.
Для АРСС:
Разностное уравнение умножить на, в общем случае, компл. сопряж. y[n-m] и провести мат. усреднение. При этом воспользоваться тем, что ВКФ выходного и входного сигнала фильтра есть свертка ИХ фильтра и АКФ входного сигнала. В случае белого шума на входе эта ВКФ = ИХ фильтра. В результате будут новые разностные уравнения.
АРСС:
sum(b[k]*r[n-k])=sum(a[i]*h[i-n]). 1-я сумма по k от 0 до M, b0=1.
2-я по i от 0 до L. r - АКФ наблюдаемого сигнала y, h - в общем случае компл. сопряж ИХ фильтра. Фильтр само собой реализуемый, каузальный, т.е. h[n]=0 при n меньше 0.
При n большем L, кстати, sum(b[k]*r[n-k]=0. Это используется при решении.
Это разностное уравнение называется уравнением Юла-Уокера.
Для АР и СС его частные случаи.
АР:
sum(b[k]*r[n-k])=|a0|^2 при n=0 и равно 0 при других n.
СС: r[n]=sum(a[i]*as[i-n]) при n от -L до +L и 0 при других n.
as - комплексно сопряж. a.
Решение.
Для АР оно простое.
Составляется система из M+1 уравнения. Для n от 0 до M, учитывая сказанное выше. В матричной форме эта система:
R*B=(|a0|^2)*E. R -АКФ матрица с элементами R[i,j]=r[i-j]. Она теплицева. B - вектор-столбец с элементами b[k]. E - базисный вектор-столбец, т.е. у которого первый эл-т =1, остальные=0.
Т.е. B=(|a0|^2)*(R^-1)*E.
Для выбора a0 используется, то, что b0=1.
Матрица R таким образом должна быть обращаемой, невырожденной.
Ее вырожденность, если таковая случилась, можно с пользой применить.
Вырожденность практически всегда означает завышенный порядок АР, т.е. большое M. А "теплициевость" матрицы R использовалась Левинсоном для ее обращения. Придумал он алгоритм соответствующий. Который алгоритмом Левинсона-Дурбина называется. Но писать уже устал.
На этом закончу. Тем более, что по АРСС все посложнее и долго. А СС Вас не интересует (большой порядок КИХ фильтра).


В матричной форме оно