|
|
Все почти встало на свои места, когда Вы уточнили про Fd, что это все-таки частота дискретизации, а не верхняя частота в спектре сигнала (http://www.telesys.ru/wwwboards/dsp/71/messages/26291.shtml), согласитесь, для нашей дискуссии это разные вещи. Физический смысл базы в этом случае стал совершенно очевиден, а когда Вы упомянули базис Котельникова, то все полностью стало ясно.
Противоречий у нас с Вами просто нет. В силу универсальности метода (имею в виду функции Котельникова) Вы не пользуетесь априорной информацией о спектре сигнала, поэтому у вас всегда T*Fd = N (N – число отсчетов в эксперименте с равномерной дискретизацией) степеней свободы (число независимых спектральных компонент, размерность рассматриваемого пространства и т.д). Поэтому во всех приведенных примерах Вы прежде всего рассчитываете базу сигнала. Однако во всех примерах есть априорная информация о спектре – число ненулевых членов ряда Фурье. Если же такая информация отсутствует, то есть нужно найти все спектральные компоненты, то у нас с Вами одинаковые результаты: если нужно найти N/2 амплитуд синусов и N/2 амплитуд косинусов в тригонометрическом базисе, то нужно ровно N отсчетов сигнала, и для восстановления сигнала по его отсчетам нужны не же N отсчетов.
То, что Вы применили базис Котельникова для неравномерной дискретизации, очень интересно. Тиснули бы Вы статью в "Цифровую обработку сигнаов", народ бы немного встряхнулся бы от спячки.
С Вашей «Поправочкой» совершенно согласен, прошу прощения.
А вот на счет старика Котельникова, Вы его не обижайте:))). Он сделал великое дело – первый рассчитал один из интервалов частот дискретизации, при которых спектр сигнала после дискретизации не портится.
Но народ пошел дальше:
1. Для полосных сигналов с шириной полосы Fв-Fн и центральной частотой Fc=(Fв+Fн)/2 минимальная частота дискретизации равна 2*( Fв-Fн ) не зависимо от Fc. Доказательств много в литературе.
2. Субдискретизация. У Макса в первом томе очень наглядно, у Гольденберга, Матюшкина и Поляка в Справочнике обобщенная формула.
3. Если на входе системы АЦП+DDC ширина полосы аналогового сигнала Fв-Fн, а на выходе DDC ширина неискаженной дискретизацией полосы fв-fн (практически всегда (Fв-Fн)>>(fв-fн)), то играми с центральными частотами можно получить минимальную частоту дискретизации Fd=(Fв-Fн)+(fв-fн), то есть уже ощутимо меньше 2*(Fв-Fн). Такая идея в одной из статей в «Цифровой обработке сигналов» как-то промелькнула. Доказательство просто до безобразия, но его в литературе не встречал.
4. Если сигнал периодический с периодом T, и спектр его ограничен полосой (Fв-Fн), то играми с центральной частотой полосы можно получить минимальную частоту дискретизации Fd=(Fв-Fн). При этом произойдет трансформация спектра по известному закону, но ни одна компонента прямого и инверсного спектров на другую не наедет. Доказывается очень просто, в литературе не встречал. Но это уже в 2 раза меньше «полосового» Котельникова (п.1).
5. Если сигнал периодический с периодом T, и спектр его ограничен сверху частотой Fв, то его можно дискретизировать с частотой Fd=1/(n*T плюс-минус 1/(2Fв)), где n целое от нуля до +бесконечности (если, конечно, терпения хватит столько ждать:))). Со спектром просходит сжатие и, максимум, инверсия. Доказывается очень просто. В литературе такой крамолы и ереси не встречал. Но это уже меньше «полосового» Котельникова в разы. На практике применять при n>0 не советую, пока техника до таких вещей не доросла.
6. То же, что и в п.5, но спектр имеет полосу Fв-Fн….
Всё, пойду спать, а то уже третий час ночи.
А Финка у меня дома не оказалось. Может где-нибудь есть в электронном виде, не поможете ссылкой? Заранее спасибо.
E-mail: 
info@telesys.ru
