Отправлено Oleg_0515 05 марта 2004 г. 19:04 В ответ на: Думаю, что Вы правы... отправлено Oleg_0515 03 марта 2004 г. 17:50

Вчера у меня был торжественный день и добрался к инету только сейчас, сорри за задержку…
Итак, речь пойдет о некоторых особенностях АОС и теории по книге
Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ. / Под ред. В.В.Шахгильдяна. - М.: Радио и связь, 1989. - 440 с.: ил.

Вся стройная теория адаптивной обработки очень красива и хороша, но практика иногда преподносит казалось бы необъяснимые результаты. Например, с гармоническим колебанием и ШПС.
1. Смотрим на стр.27, формула (2.13):
«… если отсчеты вх.сигнала случайные величины, то СКО точно совпадает с квадратичной ф-й …»
Ясно, что отсчеты гармонического колебания таковыми не являются…
Тем не менее, в примере на стр.29 рассматривается именно гармоническое кол-ние и рабочая функция очень даже квадратичная. Но (!) для двух весовых к-тов.
Обратимся к геометрической интерпретации системы с двумя отводами (адаптивный трансверсальный фильтр 2-го порядка), на входе которой – гармоническое кол-ние. На выходе первого отвода – тоже кол-ние с весом w0, на вых.второго – колебание с задержкой на dT и весом w1. На векторной плоскости можно отобразить эти 2 колебания как два вектора – как в методе комплексных амплитуд. Тогда задача адаптации – компенсировать произвольный вектор в получившейся косоугольной системе координат. Задача имеет единственное решение. Адаптивный процесс подбирает две составляющих по направлениям осей системы координат, которые в сумме по правилу параллелограмма дадут компенсационный вектор. Здесь упомянутая теория работает очень хорошо.
Ясно так же, что в частном случае, когда компенсируемый вектор оказывается параллелен одной из осей системы координат, то можно обойтись только одним отводом.
А что будет происходить, если взять 3 отвода? Или 4, 5, … и т.д?
Третий отвод – третье направление на той же плоскости. Задача превращается в такую: разложить компенсируемый вектор на сумму трех векторов. Если все направления осей разные, то имеем уже бесконечное число решений! Если 4 направления – опять бесконечность! И т.д. Более того, каждое решение – оптимальное! – дает точное разложение (компенсацию). В чем дело? Рабочая ф-я не квадратична? Имеется бесконечное число минимумов, да еще и глобальных? А как бы получилось по Винеру? Ведь адаптивный процесс должен привести нас именно к его оптимальному решению.
2. Смотрим на стр.28, выражение (2.17): Wopt = (R^-1)*P
Чтобы получить R^-1 нужно матрицу алг.дополнений разделить на det(R). Раз решений бесконечно много, то матрица R порядка 3х3, 4х4 и т.д. должна быть вырожденной, - одно из уравнений должно быть линейно-зависимым. Именно это и получается для гармонического колебания – корреляционная ф-я гармоники есть гармоника, которая может быть представлена суммой двух аналогичных гармоник (кор.функций). Я бы сказал, что это происходит из-за сильной детерминированности гармоники и ввел бы понятие фактора детерминированнсти. Для гармоники этот фактор будет равен 2. Более «наглым» сигналом можно считать лишь постоянный уровень – абсолютно детерминированный сигнал. Любая точка этого сигнала может быть взята для предсказания любой другой точки. Фактор детерминированности 1.
Так что получается? Винеровского решения для матрицы корреляции 3х3 не существует? Тогда к чему приводит адаптивный процесс? Более того, все к-ты входят в уравнение (2.13) со степенями не выше 2!
Напрашивается следующее объяснение: В этом случае квадратичная поверхность из 3-х мерного пространства (СКО, w0, w1) при добавлении нового отвода превращается в таки квадратичную поверхность в 4-х мерном пространстве (СКО, w0, w1, w2). Любые два направления из w0, w1, w2 можно взвешенно просуммировать и получить суммарное меняющееся направление, которое в паре с оставшимся третим направлением образуют меняющуюся систему координат, где действуют (или могли бы действовать) формулы указанной теории. В случае 4 отводов – аналогично. Ибо для компенсации гармоники требуется лишь два неколлинеарных направления (фактор детерминированности 2).
Что дают нам эти запутанные рассуждения?
1. Для двух отводов можно сказать насколько далеко от оптимума взят начальный вектор и как долго будет протекать адаптивный процесс. Для 3 и более – классическая теория в изложении (см.выше) этого ответа не дает (или я все еще чего-то не понимаю). Т.е. нельзя оценивать время адаптации (а возможно и другие параметры) по собственным значениям корреляционной матрицы (по крайней мере - для детерминированных сигналов). Адаптация к гармонике протекает намного быстрее, чем получается по теории, ибо оптимум вдруг оказывается где-то совсем рядом с текущим вектором весовых к-тов. Я бы сказал, что поверхность «подкладывает сама свой оптимум под блуждающий вектор».
2. Нельзя сравнивать между собой случайные сигналы и детерминированные (или нужно быть предельно осторожными при этом).

Хочется еще больше все запутать, перейдя к рассмотрению особенностей метода наименьших квадратов (МНК).
Как известно, МНК есть упрощенный метод наискорейшего спуска (МНС). Если в МНС минимизируется СКО (как это и должно быть исходя из постановки задачи и из Винера), то в МНК в качестве мат.ожидания квадрата сигнала ошибки берется просто мгновенное значение квадрата сигнала ошибки (без усреднения). Но сигнал ошибки – разностный вектор на векторной плоскости – есть гармоническое колебание. МНС минимизирует мощность этого колебания, МНК – мгновенный квадрат.
Для случайных стационарных сигналов МНК как-то но все же работает. Для детерминированных – тоже «как-то».
Представим себе, что мы приостановили процесс весовой коррекции на (к)-шаге, пропустили без коррекции (к+1)-шаг и возобновили коррекцию на (к+2)-шаге.
Статистики сигналов в случае их стационарности не меняются и для метода МНС (и метода Ньютона) адаптивный процесс продолжится так же, как если бы не было этом приостановки. Это частично подтверждает фразу на стр.15:
«Во-первых, адаптивные системы являются регулируемыми, и процессы их регулирования зависят от усредненных в ограниченном интервале времени характеристик сигнала, а не от мгновенных значений сигналов или мгновенных значений внутренних состояний системы». Из формулы (4.32), стр.57, для метода Ньютона и из (4.36), стр.59, для МНС следует, что эти процессы именно зависят от мгновенных значений внутренних состояний системы – положения точки на поверхности – текущего значения вектора весовых к-тов. Хотя возможно, что классики имели ввиду что-то другое.
Обидно не это, а то, что применение МНК делает процесс регулирования зависимым и от мгновенных значений сигналов. Что ж, такова, видимо, плата за простоту.

Что же касается собственных значений и их влияния на процесс адаптации, то пользоваться этим нужно осторожно.

Извините за многословность.