Отправлено ВН 11 марта 2004 г. 14:56 В ответ на: Извините за банальный вопрос, что делает Z-преобразование, зачем про него написано в каждом учебнике по ЦОС. (это что, сильно помагает - знать “полюса в комплексной плоскости“)? отправлено Andersen 11 марта 2004 г. 09:58

Хотя уже все сказали.
Сначала про пользу полюсов, нулей. Это и знание ЧХ и устойчивость и возможность представления скажем БИХ фильтров высокого порядка в виде каскадного или параллельного соединения фильтров более низкого порядка. Это АР, СС, АРСС модели и связанные с ними методы спектр. оценивания, например. Сюда же линейное предсказание.
Теперь про z преобразование. По сути это отображение (почти конформное) дискретного преобразования Лапласа. Про пользу преобр. Лапласа, хоть дискетного, хоть непрерывного, писать не буду.
Но дискретное преобр. Лапласа, т.е. для дискретного времени, периодично по частоте, или по мнимой оси.
Отображение его с помощью z=e^(s*dT), s=p+j*2pi*f, переводит всю мнимую ось в
s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости, левую полуплоскость в s-плоскости внутрь единичного круга на z.
Правую - наружу. Соответсвенно и нули, полюса - те, что были в левой полуплоскости попадают внутрь един. круга, те, что в правой - наружу.
Те, что на мнимой оси - прямиком на единичную окружность.
По поводу конформности - это отображение конформно для горизонтальных полос из s плоскости. Ширина полос=2pi/dT.
Т.е. гориз. полоса шириной 2pi/dT с границами 0- 2pi/dT попадет на всю z-плоскость. По описанным выше правилам. Т.е. левая половина этой полосы внутрь ед. круга, отрезок мнимой оси 0-2pi/dT на окружность, правая половина - наружу ед. круга. След. гориз. полоса из s с границами 2pi/dT - 4pi/dT попадет на то же самое место, что и первая. И т. д. Таким образом учитывается периодичность.
Кроме того это отображение дает степенной ряд - по степеням z.
Это упрощение всяческих выкладок.
У Лапласа-то ряд по степеням экспоненты, а переменная - s -в показателе экспоненты. А в z и переменная z и ряд по степеням z.
Ну и в результате связь степенного ряда (z преобр) с Лапласом получается. Все особенности Лапласа переходят на z.
К числу наиболее важных - линейность, эквив. сдвига во времени умножению на фазовый множитель.
Ну а поскольку преобразование Лапласа на мнимой оси есть Фурье преобразование, то z преобразование на единичной окружности есть отображение Фурье преобр. на z-плоскость.
Попросту говоря, если есть z преобразование X(Z) временной последовательности x(n), то преобразование Фурье этой же временнной последовательности получается подстановкой в X(Z) Z=e^(j2pi*f*dT).