|
|
Преобразование Фурье является линейным биективным отображением функциональных пространств. У этого преобразования есть область определения и область значения. Известно несколько вариантов преобразования Фурье для различных областей определения сигнала, с необходимостью имеющие различные области значения преобразования (вспомним, что преобразование взаимно-однозначное). Как правило существенно, что преобразование Фурье сохраняет энергию - все равно, считаем мы энергию сигнала по представлению его во временной области или по его спектру.
1. Сигнал задан как непрерывная функция на неограниченном временном интервале. Разрывные функции я не рассматриваю, чтобы не углубляться в обобщеные функции. Дополнительное ограничение - сигнал должен иметь конечную энергию. Область значения (частотный спектр) - это также множество непрерывных комплекснозначных функций на неограниченном интервале частот. Также, с конечной энергией. Если входной сигнал действительный - то его спектр обладает некоторой хорошо известной симметрией. Но, вообще говоря, в непрерывном случае это преобразование _комплекснозначных_ функций.
2. Сигнал является непрерывной функцией с ограниченной энергией, но заданной на (ограниченном) отрезке времени. Преобразование фурье для такого сигнала является хорошо известным разложением в ряд фурье. Ряд Фурье имеет бесконечное число членов, но все частоты кратны одной частоте. Т. е. спектр заданного на отрезке времени сигнала является функцией с ограниченной энергией, заданной на множестве _целых_ чисел. Так как такой спектр - это функция, заданная на дискретном множестве, то она не может быть непрерываной. Вообще говоря, можно по-разному непрерывно _продолжать_ исходный сигнал за границы исходного отрезка времени на бесконечное время, при этом спектр исходного сигнала будет по-разному отображаться в непрерывный спектр неограниченого сигнала, но до тех пор, пока рассматривается сигнал, задан только на отрезке времени, никакие промежуточные частоты _не определены_. Подчеркну, что вопрос, чему равны промежуточные частоты в спектре такого сигнала бессмысленный.
Первые два случая рассматривали сигнал на непрерывном времени. Последние два рассматривают его на дискретном времени. Т. е. сигнал является функцией с конечной энергией, определенной на множестве целых чисел. Разумеется, теперь нельзя говорить, что сигнал непрерывен. КОнечно, можно пытаться по-разному интерполировать сигнал, заданный на дискретном времени, чтобы получить непрерывный сигнал на непрерывном времени. Соответсвенно, будет получаться разный спектр непрерывного сигнала.
3. Время неограничено. Преобразованием Фурье такого сигнала является множество нерерывных функций с конечной энергией, заданных на _ограниченном отрезке частот_. Нет никаких частот за пределами этого отрезка, так как они лежат вне области значения преобразования Фурье. Конечно, можно рассмотреть взаимно-однозначное соответствие между одним отрезком частот и бесконечным повторением этого отрезка частот, как это принято в некоторых учебниках, но такое отображение имеет ряд недостатков. Например, оно не сохраняет энергию. Проще раз и навсегда понять, что область значения преобразования Фурье такого сигнала _не включает_ частоты больше половины частоты дискретизации.
4. Время также ограничено конечным отрезком. Существет всего конечное число точек времени, в которых задан сигнал. Т. е. сигнал - это функция, заданная на конечном множестве. С необходимостью такая функция имеет конечную энергию. Преобразование Фурье отображает множество таких фуекций также во множество фуенкций, заданных на _конечном_ множестве, равномощном множеству отсчетов времени. Нет никаких ни промежуточных частот, ни частот, превышающих половину частоты дискретизации.
E-mail: 
info@telesys.ru
