1) Абзац второй. Если это утверждение, то пусть T - замкнутый интервал от 1 до 2, а функция f(t)определена только на нем. Как вы определите значение f(t0-т0), чтоб удостоверится что f(t-т0) принадлежит H когда t0=т0=1.3? Если определение, то как определяется из него область задания функций Т?
2) Абзац четвертый. Положим скалярное произведение определено несимметрично относительно перемены направления t, например, "вес" при больших t больше. Тогда равенство (y(t-т),x(t))=(y(t),x(t-т)) может и не иметь место, а значит "доказательство" не имеет силы.
3) Ну и на закуску. "Теорема 1" требует в случае, например, пространсва эль-2 суммирования бесконечного числа слагаемых, а значит перехода к пределу. Тогда в чем отличие вашего определения дельта функции от обычного?